Productos notables

¿Que son los productos notables?

A continuación detallaremos que algunos conceptos de productos notables.

• Tanto en la multiplicación aritmética como algebraica se sigue un algoritmo, sin embargo, existen productos algebraicos que pueden calcularse a través de normas establecidas, estos productos reciben el nombre de productos notables.

• Normas que se establecen para resolver algunas multiplicaciones, sin verificar la multiplicación.

Existen cuatro casos principales de productos notables, las cuales analizaremos en este contenido.


1.- Cuadrado de suma y diferencia de binomio

El producto de un binomio por si mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio . el desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura.

( a + b )^2 = ( a + b ) ( a + b )

si realizamos el producto termino a termino, obtenemos.

 ${\displaystyle =a\cdot a+b\cdot a+a\cdot b+b\cdot b}$ ${\displaystyle =a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}$


Esto quiere decir que:

Por lo tanto:

El cuadrado de la suma de dos números, es el cuadrado del primer termino, mas el doble producto del primer termino por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo termino.


La expresión siguiente se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

El cuadrado del binomio como otros productos notables, tiene una representación geométrica en el plano. consiste en determinar el área del cuadrado de lado a+b.

Para determinar el área del cuadrado de la figura 1.0, multiplicamos las longitudes de sus lados, es decir (a + b) (a + b), o lo que es lo mismo sumar las áreas de los rectángulos internos como se muestra en la figura 1.1



Ejemplo:Desarrollar el binomio    

Solución:



Cuando el binomio es una diferencia, se conoce como el cuadrado de la diferencia de dos números, es decir:

Ejemplo:

${\displaystyle (2x-3y)^{2}=(2x)^{2}-2(2x)(3y)+(3y)^{2}\,}$

Simplificando:

${\displaystyle (2x-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}\,}$

2.- Binomios con un termino común 

Corresponde a la multiplicación de binomios donde el primer termino es común para ambos binomios, por ejemplo

 ${\displaystyle x\cdot x+a\cdot x+x\cdot b+a\cdot b=}$ ${\displaystyle x^{2}+(a+b)x+a\cdot b}$

Esto significa que el producto de dos binomios con un termino en común, es.

El binomio con un termino común, es el cuadrado del termino común, mas la suma de los dos términos distintos multiplicados por el termino común,mas el producto de los términos distintos.

     Ejemplo:

1.- 

${\displaystyle (2y-1)(2y-3)=(2y)^{2}+(-1-3)(2y)+((-1)(-3))=4y^{2}-8y+3}$2.- 

3.- Productos de dos binomios conjugados 

Se llaman binomios conjugados al producto de la suma de dos números por su diferencia, se caracteriza por ser un producto de dos binomios con términos iguales, que difieren en que un binomio tiene signo positivo y el otro negativo, por ejemplo.

El producto de dos binomios conjugados, es el cuadrado del primer termino, menos el cuadrado del segundo termino.

Algunos ejemplos del producto de dos binomios conjugados son:

1.- 

2.- 

4.- Binomio al cubo.

El desarrollo del cubo del binomio (a + b) se puede obtener, multiplicando este por su cuadrado.

La suma del binomio al cubo es, el cubo del primer termino, mas el triple producto del cuadrado del primer termino por el segundo, mas el triple producto del primer termino por el cuadrado del segundo termino, mas el cubo del segundo termino.

Binomio al cubo